Benutzer:PW/Zahlenfolge

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Hier eine Zeichenkette: 2,4,6,8,10,12,14,16. Gibt es Gemeinsamkeiten? Was fällt Dir auf? ==> "2n+2". Das ist "die Form dahinter".

Ich habe gerade ohne lang nachzudenken (gewissermaßen instinktiv) die Formel von "n+2" auf "2n+2" umgeschrieben, weil ich gedacht habe, einen Tippfehler gefunden zu haben. "2n+2" wäre eine geschlossene Darstellung der Folge. Aber "n+2" is natürlich genauso eine "Form dahinter", eben eine rekursive Definition dieser Folge. Das zeigt aber, dass der bestimmte Artikel "die" vor "Form dahinter" gewagt ist. --PW 06:38, 3. Dez. 2010 (UTC)

Ich möchte hier auch noch gern eine Bemerkung anschließen. Ich weiß nicht, ob man bei der rekursiven und der Funktionsdarstellung wirklich von verschiedenen Formen im strengen Sinn sprechen sollte. Vielleicht wäre es besser zu sagen, dass beide Darstellungen auf die selbe Form rekurrieren, aber halt (auf einer anderen Ebene) die Form der Darstellung eine jeweils andere ist. Der Sache nach bleibt es aber die selbe Form – denn würden wir nicht sagen, dass sich die Darstellungen auf das selbe beziehen (was ich als eigentliche Form bezeichnen möchte), hätten sie ja auch nichts Gemeinsames mehr und würden beziehungslos auseinander fallen. Deswegen sollten wir vielleicht die notationelle Darstellung einer Form von der Form selber als dem, worauf sich die Darstellung bezieht, begrifflich trennen. Aber es ließe sich auch eine – nach diesem Sprachgebrauch – wirklich andere Form finden (sogar unendlich viele), sagen wir zum Beispiel die Folge (2n + 2 + floor(n/8)) (floor ist die Abrundungsfunktion): Bei dieser Folge wären die angegebenen Folgenglieder zwar noch gleich, aber das nächste Glied wäre dann 19 (und nicht 18 wie bei 2n+2). Die Bemerkung soll keine bloß mathematische Spitzfindigkeit sein, sondern sie verdeutlicht auch das philosophische Problem, das man sich mit solchen Verallgemeinerungen aufgrund begrenzter Daten einkauft, nämlich dass die allgemeine Form nicht ohne Weiteres aus den Einzelbeispielen rekonstruiert werden kann. Und: Nur weil man ein passendes Erklärungsmuster für eine Reihe von Phänomen gefunden hat, muss dieses Muster nicht zwangsweise das begründende sein.--Realgeizt 01:01, 17. Dez. 2010 (UTC)

Ich habe mich jetzt gefragt, warum du das, was von 2n+2 bzw. n+2 dargestellt wird, Form nennen möchtest. Natürlich kann man das machen: statt "Dargestelltem" sage ich "Form" und statt "verschiedenen Darstellenden" sehe ich "verschiedene Formen der Darstellung".

Naja, das ist eine Sprechweise, die sich eben von Platon her anbietet: Die Form entspricht der Idee, und die Darstellung ist ihr (notationelles) Abbild. Ich finde das drängt sich doch aus philosophischer Sicht geradezu auf.--Realgeizt 14:13, 17. Dez. 2010 (UTC)

Diese neue Terminologie bringt aber nicht neues, wenn von dem Objekt 2,4,6,8,10,12,14,16 die Rede ist. Und da sind die beiden Darstellungen n+2 und 2n+2 so verschieden, wie es nur möglich ist: Angenommen wir geben jemanden auf einer Tafel folgende Zeilen vor, und er soll "Formen dahinter" finden. Diese Formen schreibt er rechts daneben.

Folge	Form
0 1 2 3 4	n
0 2 4 6 8	2n
0 3 6 9 12	3n
0 4 8 12 16	4n
0 5 10 15 20	n+5

Dann werden wir sagen, dass er in der fünften Zeile einen Fehler gemacht hat, weil es vor dem Hintergrund der Struktur der ersten vier Lösungen unverständlich ist, dass in der fünften Zeile auf einmal die Darstellung der Lösung geändert wird. Wir sagen: in der fünften Zeile steht eine falsche Lösung, also eine falsche Form. Wie sollen sich denn Formen desselben Objekts noch mehr unterscheiden als dadurch, dass wenn man eine Form erwartet und die andere serviert bekommt, sie möglicherweise für falsch hält? Dass sie sich nicht dadurch unterscheiden können, dass sie Formen desselben Objekts sind, ist ja klar.

Mit Verlaub, aber wenn mir jemand sagt, ich soll zu den Folgen auf der linken Seite jeweils die allgemeine Form finden, dann wäre ich aber schwerst empört, wenn mir jemand diese fünfte Zeile für falsch erklärt. Man könnte das allerhöchstens insofern geltend machen, als man einräumt, dass diese Darstellungen etwas schlampig angeschrieben sind, und man bei den ersten 4 Folgen etwas genauer schreiben sollte: f(n) = n, f(n) = 2n, usw., und für die fünfte a_(n+1) = a_n + 5 mit a_0 = 0, wobei n = 0…∞. Aber hier dann noch zu sagen, man hätte die Form falsch erkannt, das fände ich wirklich sehr sehr komisch, und ich würde protestieren: "Du hättest dazusagen müssen, dass auch die Darstellung gleich bleiben muss!" (was in meinen Augen mit der Form gar nichts mehr zu tun hat und eine sehr beliebige und vor allem auch unerwartete Forderung darstellt) Das wäre ja fast wie wenn man in der Schule bei einer Mathematik-Schularbeit 0 Punkte bekommt, weil man die Beispiele auf eine andere Weise gelöst hat, als im Unterricht vorgezeigt wurde. (Dass das tatsächlich von manchem Lehrer nicht so gern gesehen wird hat höchstens didaktische oder Mißtrauensgründe.)--Realgeizt 14:13, 17. Dez. 2010 (UTC)

Wenn du die ersten vier Zeilen wie oben löst und die fünfte nach einem anderen Schema, dann wirst du dir aber die Frage gefallen lassen müssen, warum du auf einmal die Darstellung wechselst und warum du ein Missverständnis riskierst. Und wenn dich jemand missversteht dann bist du "selbst schuld".

Man kann sich prinzipiell für jede der Folgen, die oben auftreten (und überhaupt für alle solchen Folgen), jeweils ein neues Darstellungssystem ausdenken: die erste notiere ich als klassischen geschlossenen Ausdruck n, die zweite stelle ich rekursiv dar: n+2. Für die dritte verwende ich einen bestimmten Farbverlauf, für die vierte ein akustisches Signal etc. Natürlich kann man den obigen Darstellungen Informationen hinzufügen, damit sie leichter verständlich werden ( z.B.: für 0<=n<=4 sei a_n=n bzw. a_0=0, für alle n sei a_(n+1)=a_n+1) aber natürlich lassen sich auch diese Anweisungen missverstehen. Dass wir sie nicht missverstehen rührt daher, dass wir darauf trainiert sind, solche Formeln auf diese Art und Weise in Zahlenfolgen zu übersetzen. Prinzipiell wäre es aber auch ganz anders möglich.

Für falsch gehalten wird die fünfte Zeile oben, weil man etwas anderes erwartet. Wenn jemand die ersten vier Zeilen so löst wie oben und dann in die fünfte Zeile einen Farbverauf zeichnet, dann werden wir ihn berechtigterweise fragen, was das soll. Und er wird sich nicht beschweren können mit "Du hättest sagen müssen, dass die Darstellung gleich bleiben muss!". Mein Punkt hier: Missverständnisse sind immer möglich und können nicht grundsätzlich vermieden werden (wie etwa durch genauere Notation), es gibt aber provozierte Missverständnisse und ein solches ist die obige fünfte Zeile oder ein Farbverlauf.

Worauf ich damit hinaus wollte ist etwas ganz anderes: die Tatsache, dass so ein Missverständnis möglich ist, ist ein Hinweis darauf, dass es sich um verschiedene Formen handelt. Warum? Weil wenn man eine geschlossene Darstellung erwartet und dann den gegebenen Ausdruck n+2 als geschlossene Darstellung interpretiert, dann ist das einfach falsch. Umgekehrt natürlich genau so. --PW 18:17, 17. Dez. 2010 (UTC)

Insofern würde ich sagen, dass sich die Darstellungen 2n+2 und 2n+2+[n/8] viel ähnlicher sind. Man kann sie nach dem selben Muster evaluieren (bei 1<=n<=7) um dasselbe Objekt "2,4,6,8,10,12,14,16" zu bekommen. Mit n+2 muss man dagegen ganz anders umgehen, damit man "2,4,6,8,10,12,14,16" bekommt. Man muss rekursiv einsetzen.

Warum für dich 2n+2+[n/8] eine "wirklich andere Form" ist, wird für mich nur dann erklärlich, wenn man annimmt, dass mit "2,4,6,8,10,12,14,16" nicht die ersten 8 geraden natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Ordnung mit Beistrichen dazwischen gemeint sind, sondern: die geraden natürlichen Zahlen schlechthin. Dann unterscheiden sich die Darstellungen 2n+2 und 2n+2+[n/8]. Aber die Voraussetzung für diesen Unterschied ist erst dadurch gegeben, dass (überschwänglich) interpretiert wird, dass mit "2,4,6,8,10,12,14,16" die geraden natürlichen Zahlen gemeint sind und gerade eben nicht die endliche Zeichenkette. Und diese Interpretation führt dann auch zu der philosophischen Schwierigkeit der Verallgemeinerungen und der Tatsache, dass Mathematiker bei Intelligenztests, wenn es um "die richtige" Fortsetzung von Zahlenfolgen geht, furchtbar schlecht sind, weil ihnen sofort überabzählbar viele sinnvolle Fortsetzungen einfallen (für n gegebene Zahlen setze ein Polynom vom Grad n+1 an).

Was, wieso denn? Meine unterschiedlichen Formen ergeben sich genau aus der Beobachtung, dass mit "2,4,6,8,10,12,14,16" eben noch nicht notwendigerweise die geraden natürlichen Zahlen gemeint sind! Deswegen gebe ich ja auch illustrativ eine Folge an, die 19 als nächstes Glied produziert. (Im Gegensatz dazu beziehen sich sowoh (2n+2) als auch die rekursive Folge (n+2) auf die geraden natürlichen Zahlen: Damit scheint also – zwar nicht notwendigerweise, aber eben dem Schein nach – mehr vorausgesetzt zu sein.) Und es ist natürlich richtig, dass deine 2 Angaben jeweils anders zu evaluieren sind, aber das halte ich ehrlich gesagt im platonischen Kontext für eher nebensächlich. Es soll damit selbstverständlich nicht gesagt sein, dass die 2 Darstellungen identisch sind, natürlich sind sie das nicht! Aber sie sind äquivalent und sie sind vom selben Status. Sie sind aber von einem anderen Status als die Form auf die sie sich beziehen. In einer Analogie könnte man sagen: Sie verhalten sich zur beiden gemeinsamen Form (nach meiner Sprechweise) wie das mit Akzidentellem behaftete Einzelding (also Abbild) zum Urbild.--Realgeizt 14:13, 17. Dez. 2010 (UTC)

wenn ich nur die Zahlen "2,4,6,8,10,12,14,16" kenne oder mich in beliebigen Formelevaluationen nur auf die ersten 8 Terme beschränke, dann liefern (2n+2) und 2n+2+[n/8] genau dasselbe. Der 19er ist mir dabei egal. Für die Erzeugung dieser Zeichenkette aus 8 Zahlen ist es vollkommen irrelevant was passiert, wenn man in die Formel n=8 einsetzt.

Entscheidender ist der Unterschied zwischen (2n+2) und n+2, weil das n in beiden Ausdrücken verschiedene Funktionen hat. Es ist eine andere Handlung die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7 in (2n+2) einzusetzen, als schrittweise mit 2 startend immer die zuletzt gewonnene Zahl in n+2 einzusetzen. Man muss einfach andere Spielregeln befolgen, um mit beiden Formeln auf das Ergebnis "2,4,6,8,10,12,14,16" zu kommen. Inwiefern das im platonischen Kontext nebensächlich oder nicht nebensächlich ist, kann ich nicht entscheiden. Bei Wittgenstein ist Regelfolgen aber ein großes Thema.

Ich will nicht bestreiten, dass 2n+2+[n/8] eine andere Form ist als 2n+2 oder n+2. Ich meine aber, dass der Unterschied zwischen 2n+2 und n+2 deutlich größer (nämlich im obigen Sinn) ist als zwischen 2n+2+[n/8] und 2n+2. --PW 18:17, 17. Dez. 2010 (UTC)

Zusammenfassend: Wenn man sich auf "2,4,6,8,10,12,14,16" als Zeichenkette beschränkt, dann wird die Terminologie einfacher und das Problem der Verallgemeinerung verschwindet. Was aber als philosophisches Problem interessant bleibt ist, dass 2n+2 und n+2 wirklich zwei verschiedene Darstellungen sind in dem Sinn, dass es verschiedene Tätigkeit sind, 2n+2 geschlossen und n+2 rekursiv zu evaluieren. --PW 12:26, 17. Dez. 2010 (UTC)

Wie ich die Folge jetzt evaluiere halte ich wirklich für nebensächlich. Ich kann ja dann auch hergehen und sagen okay, ich evaluiere jede dieser 2 Schreibweisen einmal mit Bleistift und einmal mit Kugelschreiber und einmal mit dem Computer. Das klingt jetzt vielleicht blöd, aber das soll nur illustrieren, dass wir uns damit schon auf einer ganz anderen Ebene befinden. Und ja, auch hier gibt es wieder interessante Aspekte, na klar. (Man denke etwa an Nietzsche und seine Schreibmaschine, und sein Zugeständnis: "Sie haben recht – unser Schreibzeug arbeitet mit an unseren Gedanken.") Aber ich denke hierauf sollte aus platonischer Sicht nicht das Augenmerk gelegt werden, sondern auf die gleichbleibende Form, die allen äußeren Darstellungen zu Grunde liegt.--Realgeizt 14:13, 17. Dez. 2010 (UTC)

der Punkt ist, dass nicht die Folge evaluiert wird, sondern ein Ausdruck wie n+2 oder 2n+2. Und da macht es einen großen Unterschied, welche Regeln man dabei verwendet. Siehe oben. --PW 18:17, 17. Dez. 2010 (UTC)

"Form der Darstellung" und "Form". Das ist ein schönes Beispiel für eine Problemstellung, in der sich die Plausibilität platonisierender Gedanken zeigen lässt. Wir haben - wie soll man das sagen - eine Vorstellung, eine Idee, einen Begriff von "geraden Zahlen" und gehen davon aus, dass man diese Vorgabe auch notieren kann. Aber damit sind wir im Bereich der Materialität. Unversehens müssen wir zwischen verschiedenen Formen der Darstellung der Form unterscheiden. Und zwar präzise deshalb, weil sonst etwas auseinanderfallen würde, was wir nicht auseinanderfallen lassen wollen. Wenn ich eine Prüfungsfrage stelle ("Was ist ein feature freeze?)" will ich nicht eine einzige wortidentische "Antwort", sondern einen Ausdruck, der den Sinn "wiedergibt".

"Verallgemeinerungen aufgrund begrenzter Daten". Das ist ein weit verbreiteter Zweck der Verallgemeinerung und daraus ergibt sich präzise das Formproblem. Wittgenstein diskutiert das unter dem Titel "Regelfolgen". S. Kripke hat ein schönes Buch darüber geschrieben. --anna 06:58, 17. Dez. 2010 (UTC)